L’efecte papallona

El batre d’ales d’una papallona es nota en tot el món

Proverbi xinés

Segurament molta gent ha sentit a parlar del Efecte Papallona. Darrera d’aquesta denominació hi trobem la formulació de la teoria del Caos. Desprès del descobriment de que l’Univers te una història (Big Bang) i se’ns dubte les dues teories essencials de la física (Quàntica i Relativitat); la formulació de la impredictibilitat dels esdeveniments ha canviat la concepció que es te del nostre món. Estem davant una revolució totalment ignorada per la majoria de la població, que li és més senzill pensar en plans divins, conspiracions i altres fantasies quan veu els esdeveniments dels nostres dies; però la realitat és que l’home proposa i l’atzar disposa.

Pierre Simon de Laplace es se’ns dubte una dels personatges clau en la cosmovisió científica fins a principis del segle XX. Ferm defensor que les lleis de la física estaven per sobre de la voluntat divina, sostenia que el Determinisme Causal era el fil que movia els esdeveniments.

El principi del Determinisme Causal postula que tot resultat es degut a una causa i aquesta és l’estat anterior sota l’acció de les lleis físiques. Així per un determinat estat inicial només és compatible un únic estat final. Això venia corroborat per un principi molt estes entre el mon científic de l’època, el qual concebia que el mon era explicable a partir de lleis bàsiques senzilles que podien expressar-se com a senzilles formules algebraiques, presumiblement analítiques. Un exemple és la arxiconeguda segona llei de la dinàmica de Newton (F=m.a) d’una senzillesa tant conceptual com algebraica, tota la formulació física dels segles XVI, XVII i XVIII són sumes, diferències, multiplicacions i divisions, amb alguna exponenciació fixe (quadrats, cubs...) d’alguna variable, res comparat amb les expressions de la física actual.

Lagrange, contemporani seu, establir a partir del seu sistema d’equacions, una manera analítica i universal de resoldre sistemes mecànics. El seu sistema d’equacions donava una solució única sempre que poguessis aportar les suficients condicions inicials. Nomes seria possible la multiavaluació si es desconeixes o només es coneixes parcialment alguna de les condicions inicials. L’atzar era senzillament manca de coneixement de la totalitat de les condicions inicials, resumint quan llences els daus es com Juli Cesar travessant el Rubicó: el resultat ja esta donat independentment dels esdeveniments que passin posteriorment perquè aquests vindran determinats per les lleis físiques i l’acció primera. Sí pel ateu Lagrange i la resta de físics del segle XVIII i XIX (creients o no) el destí existia realment, era una conseqüència lògica del que havia passat en el segon 0 de la història.

Però després del descobriment del planeta Neptú a mitjans del XIX el rei de Suècia Oscar II es va interessar per l’estabilitat del Sistema Solar, donant un premi a qui demostres l’estabilitat o no d’aquest. No sabem si el rei Oscar ho va fer per filantropia o tenia veritables temors de que el Sistema Solar acabes col·lapsant-se però de la mateixa manera que es va descobrir Neptú per pertorbacions en l’orbita d’Urà, era plausible que una acció combinada de pertorbacions pogués conduir a una pèrdua d’estabilitat del conjunt d’objectes que orbiten el Sol. El matemàtic francès Henri Poincare va trobar una solució estable guanyant el premi però un amic seu va fer-li observar que havia comes un error, al saber-ho va tornar el premi fins que trobes una solució; aquesta l’acaba trobant: demostrar que no hi havia solució. A partir de la 'no solució' de l’estabilitat del Sistema Solar elaborar una primera Teoria del Caos basada en el fet que la propagació temporal d’errors feia divergir qualsevol extrapolació a llarg termini per petita que fos la divergència en origen. En sí la solució no era tant estranya, primer no sortiríem de la formulació primera d’atzar on imprecisió en els valors inicials no és més que desconèixer el valor real, i segon des de Newton es provava de solucionar sistemes de tres cossos en gravitació sense cap solució general i per tant sobre la totalitat dels Sistema Solar no era més que una quimera; tot i així el resultat era inquietant, no tant pel perill de col·lapse (poc probable), sinó el fet que valors inicials vers el resultat final havien de mantenir la proporcionalitat, cosa que no succeia.

La veritable teoria de caos vindrà amb Edward Lorenz. A partir dels seus estudis sobre modelitzacions climàtiques va comprovar que per senzill que fos el model petites variacions en els valors inicials evolucionaven temporalment de forma dràsticament diferent. L’any 1979 portarà els seus estudis a la reunió anual del American Association for the Advancement of Science, en un treball inicialment anomenat “Petits errors al inici poden resultar fatals” però al convertir-lo en article canviarà el títol per “El batre d'ales d'una papallona al Brasil pot provocar un tornado a Texas” parafrasejant un proverbi xines “el batre d’ales d’una papallona es nota en tot el mon”. El títol d’aquest article es la noció popular del Butterfly effect encara que en realitat el nom va ser anterior degut al dibuix semblant a una papallona que s’obtenia del gràfic que genera l’evolució temporal de dues variables; com mostra la il·lustració del principi.

El que nosaltres percebem com equilibri no és més que un estat estacionari quan aquest depèn de més de dues variables amb relacions no lineals creuades. Així l’evolució temporal d’aquets conjunt reduït de variables es mourà més o menys acotat (seria una de les ales de la papallona) que anomenem atractor, fins que algun d’aquests valors surti de la zona d’influència d’aquest atractor; llavors l’evolució és totalment caòtica fins que cau dins un nou atractor o el mateix on era avanç, tornant a tenir un nou estat estacionari. El caos no ve dels passos entre atractors pròpiament sinó del fet que variacions en les condicions inicials d’ordre podríem dir ínfim produeixen variacions en l’evolució realment grans. Un exemple son les il·lustracions que segueixen; tres simulacions numèriques que en la il·lustració surten del mateix lloc físic perquè la variació és tant petita que la gràfica no la pot representar, al inici amb trajectòries idèntiques, quan ha passat un cert temps surten d’aquest primer bucle (és tant petit que no es veu a la imatge però que estaria en l’inici de la trajectòria en el centre de l’orella gran de la segona il·lustració) i entren en un segon bucle on comencem a separar-se les trajectòries cada una en un color diferent; en l’instant que s’ha pres ja es pot observar que una partícula torna cap al primer bucle (vermella), una segona continua orbitant el bucle segon (blava) i la tercera ha agafat una trajectòria d’escape (verda). En l’últim il·lustració veiem com cada partícula segueix la seva pròpia trajectòria independent fent un número d’òrbites aleatòries i saltant posteriorment a l’altre bucle.

El que succeeix en realitat és que per certs intervals de valors, els sistemes tenen més d’un possible comportament. Fora d’aquests intervals el sistema pot estar en un regim estable o inestable però únic, pel contrari posat dins d’aquest inteval pot saltar de forma aleatòria a qualsevol dels altres possibles comportaments. Per fer un símil és com si hagués una pla amb conjunt de pous per on córrer una bola lliurament, la qual es pot introduir aleatòriament en qualsevol d'aquests. Al entrar la bola dins d'un forat aquesta pot tenir energia suficient per superar les parets, ella quedarà queda atrapada en el pou en cas contrari. Suposem però que a les parets del pou hi ha túnels on la bola pot passar lliurement entre pou i pou sense necessitat de superar el potencial; llavors que la bola romangui dins el pou ja no dependrà només de l'energia sinó també si passa la bola per damunt d'un d'aquests túnels. Si d’aquest túnels hi ha molts amb un paràmetre d’impacte molt petit, provocarà que caure en un túnel o altre depengui valors gairebé puntuals de les condicions inicials la bola en entrar el pou, així com el temps que romandrà dins del pou que depèn del túnel al qual s'acabarà encarant. Si fem l’experiment d’anar enviant boles amb variacions infinitesimals dels valors inicials, segurament podrem establir un comportament estadístic que podrem relacionar amb el número de forats i paràmetre d’impacte, però serà del tot impossible establir un comportament predictible. Extrapolant-ho a qualsevol sistema durant la zona uniavaluable transita entre estats estables entrant en estat inestable de forma totalment predictible, però quan arriba en zones de multi avaluació llavors ell pot estar en qualsevol dels estats estables, introduint-se aleatòriament a qualsevol dels diferents estats inestables el qual el conduirà a un altre estat estable compatible.

La gran noticia és que el futur no està escrit, i que qualsevol pertorbació per estúpida i insignificant que sembli pot canviar de forma transcendent el curs dels esdeveniments. Tot deixa petjada en aquest món, però de mitjana la majoria d’efectes són anul·lats per altres de contraris dels molts milions i milions d’accions que succeeixen en cada moment. Com tots sabem tots la sort és ser al lloc i moment adequat, i d’aquesta manera un esdeveniment puntual i insignificant en un moment i lloc concret podria condicionar el destí de l’univers sencer al anar-se propagant en el temps. Sí realment una papallona pot desencadenar l’Apocalipsi Nuclear si pren la direcció equivocada, però és del tot impossible saber quina podria ser.